私が列に並んでいるとき、隣の列の方がいつも早いのはなぜですか?

列に並んで待っているとき、隣の列の方が早く進んでいるように感じたことはありませんか?

マーフィーの法則の最も有名な例の 1 つは、「隣のチームの方が常に速い」というものです。

たとえば、スーパーで買い物をするときにレジの列を選ぶとき、私たちが並んでいる列のレジ係は、他の列のレジ係ほど柔軟に対応してくれるとは限りません。列に並ぶ前に観察し、遅い列を避けた場合、列に並んでいる誰かが必ず価格について不満を言い、列全体の速度が低下するなどの原因になります。現時点では、運に頼る以外に方法はありません。列に並んでいるときに、各列の最後に誰がいるかを観察して、誰が最初にチェックアウトするかを確認します。

同じ状況が高速道路で起こった場合、答えはまったく異なるものになる、とポール・クルーグマン（アメリカの経済学者）とスティーブ・ストロガー（アメリカの数学者）が何年も前にニューヨーク・タイムズで議論した。私たちの車線がなぜ遅く動いているのか、そしてこれは他の車線にも当てはまるのかを数学を使って説明する方法を見てみましょう。

それは不可能ですか？いいえ、数学ではそれは完全に可能です。

長さ 4 km の 2 車線の高速道路にいるとします。これは本当の待ち行列状況ではありません。行程の前半は時速 10 km で、後半は時速 30 km です。計算の便宜上、追い越しは行われないと仮定します。 (これは馬鹿げた仮定だとわかっています。結局のところ、ドリフトはイタリアでサッカーに次いで2番目に人気のあるスポーツです。しかし、仮定してみましょう。) それで、何が起こるでしょうか?

当然、2車線の車は同時にこの4キロメートルの距離を通過し、12分ではないことは誰もが知っているので、時速20キロメートルの速度での全行程とみなすことができます。時速10キロメートルの場合は1キロメートルあたり6分、時速30キロメートルの場合は1キロメートルあたり2分かかるので、合計時間は16分です。

それで、何が起こるか見てみましょう。この 16 分間、4 分間の速いランニングを終えると、残りの 12 分間で「なぜ他の人は私より速く走っているのだろう?」と疑問に思うようになります。図を描いてみると、隣の車線のドライバーにも同じことが起きていることがわかります。

しかし、さらに驚くべき結果がありました。隣の車線が渋滞しているときは時速 5 km、それ以外のときは時速 20 km だとすると、4 km の距離を走るのにあなたよりも時間がかかるのは明らかです。しかし、上記の分析によれば、なぜ他の人があなたよりも速く運転するのか、あなたはまだ不満を言うでしょう。

数学では、この動作はレデルマイヤーのパラドックスとして知られています。

なぜこのパラドックスはスーパーマーケットの行列の例では起こらないのでしょうか?マーフィーはスーパーマーケットのショッピングカートを好むのでしょうか?

もちろん違います。運転の例では、車が移動する距離は同じであると仮定したので、空間を制御できました。しかし、スーパーマーケットで列に並んでいるときは、距離がどれくらい長いかに興味がないので、これは重要ではなくなります。制御可能な要素を時間に変更し、総時間の 20% で車の速度を上げ、残りの 80% の時間は速度を落とすと、このパラドックスは存在しなくなり、マーフィーの法則が再び適用され始めます。急な車線変更や減速量の急激な変化の後に何が起こるかを把握できます。

終わり

テキスト: [イタリア語] Maurizio Codogno

図：「コーヒータイムに数学の話をしよう」のイラスト、インターネット画像（著作権を侵害している場合は削除）